e^x 泰勒展开的积分算子法推导证（严谨一点点）

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首先我们知道等比数列求和公式:

\begin{align} & 1 + q + q^2 + ... + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \end{align}

2024年7月27日

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$$ \text{如若 } n \rightarrow +\infty , \text{且 } |q| < 1, \text{则：} $$ \begin{align} & \mathop{lim}\limits_{n \rightarrow +\infty}{(1+q+q^2+ ... + q^n)} = \mathop{lim}_{n \rightarrow \infty}{(\frac{1-q^{n+1}}{1-q})} &\\& = \mathop{lim}\limits_{n \rightarrow +\infty}{(\frac{1}{1-q} - \frac{1}{1-q} q^{n+1})} &\\& = \frac{1}{1-q} - \frac{1}{1-q} \mathop{lim}\limits_{n\rightarrow+\infty}{q^{n+1}} &\\& = \frac{1}{1-q} - \frac{1}{1-q} 0 &\\& = \frac{1}{1-q} & \end{align}

 

于是，我们得到一个神奇的级数公式：

它成立的条件是：|q| < 1

再来审视我们的积分运算符：

\begin{align} \int f(x) dx \end{align}

积分是一个算子，它是从一个输入函数到一个输出函数的映射，

dx 是一个无穷小量，表示在 x 这个位置时，的一个微小增量；

f(x) 是被积函数，也表示在 x 这个位置时，函数的值；

f(x)dx，f(x) 与 dx 作乘法运算，依然是无穷小量；

\begin{align} \text{符号}\int \text{表示把所有的 f(x) 与 dx 的乘积加起来；} \end{align}

dx 是一个无穷小量，f(x)dx 依然是无穷小量，显然一个无穷小量的绝对值小于 1， 于是，我们可以把上面那个级数公式套在积分算子上：

见到这个式子是不是感觉很神奇？反正我第一次见到它就感觉它很神奇，惊叹数学的美妙。

还没完，如何跟 e^x 扯上关系呢？

我们已经知道了 e^x 的积分：

\begin{align} \int e^x dx = e^x \end{align}

 

 

注意到，右边这一项 $$e^x$$ 的系数为 1，
左边那一项里包含积分算子符号 $$\int$$
而我们现在想要配出 $$1-\int$$ 于是，我们移一下项，得到：$$ e^x - \int e^x dx = 0 $$

注意看，接下来，神奇的变形开始了：

\begin{align} e^x (1 - \int) = 0 \end{align}

我们的目标是配出 $$ \frac{1}{1-\int} $$

 

为了得到它，我们可以把式子中的 $$ 1-\int $$ 除到右边去： \begin{align} e^x = \frac{1}{1-\int} 0 \end{align}

再代入级数展开式，得到： \begin{align} e^x = (1 + \int + \iint + \iiint + \iiiint + ...) 0 \end{align}

运用分配率，得到： \begin{align} e^x = 0 + \int 0 + \iint 0 + \iiint 0 + \iiiint 0 + ... \end{align}

得：

\begin{align} & e^x = \quad c + cx + \frac{1}{2}cx^2 + \frac{1}{3!}cx^3 + \frac{1}{4!}cx^4 + ... & \end{align} 代入 x = 0 得： \begin{align} & e^0 = \quad c + c0 + \frac{1}{2}c0^2 + \frac{1}{3!}c0^3 + \frac{1}{4!}c0^4 + ... &\\& \Longrightarrow c = 1 & \end{align}

代入 c = 1 得：