复数乘法群 \( (Z, \times) \)

我们知道，实数上的除法可以看作乘法的逆运算，比如：

那么，复数上的除法是否可以找到类似的操作呢? 试试看。

首先我们定义一个不含 0 的复数乘法群 \( (Z, \times) \)，发现这个乘法群满足群论四个基本要求：

• 封闭性：复数与复数的乘法仍然是复数。
• 结合律：\( Z_1 * Z_2 * Z_3 = Z_1 * (Z_2 * Z_3) \), 显然复数乘法运算满足结合律。
• 单位元：复数 1 （也就是实数 1）与这个集合中的任意一个复数左乘和右乘都等于那个复数，因而 1 是复数的单位元，且只能找到一个这样的单位元。
• 逆元：
  解： 任取一个复数 \( Z = a + bi \)
  显然 a, b 不同时为 0, 因为前面已经说过，是不含 0 的复数群，
  Z 的共轭复数为 \( Z^* = a - bi \)
  Z 的逆为 \( Z_2 = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2+b^2} i \)
  \( Z Z_2 = \frac{a^2}{a^2+b^2} + \frac{b^2}{a^2+b^2} - a\frac{b}{a^2+b^2}i + bi \frac{a}{a^2+b^2} \)
  \( \quad = 1 \)
  同理得到 \( Z_2 Z = 1 \)
  因而不含0的复数的集合满足逆元。
  我们可以把复数 Z 的逆元记作 \( Z^{-1} \)，不难发现 \( Z^{-1} = \frac{Z^*}{|Z|^2} \)
  \( ZZ^{-1} = Z^{-1}Z = 1 \quad (Z \neq 0) \)
  

得到，复数的逆等于它的共轭复数处以它的模长的平方。

另外，复数乘法满足交换律。

复数的除法：逆元

前小节已经证明了不含0的复数乘法群满足群论的四条基本性质，因而我们就可以将复数的除法定义为复数的逆元，显然 0 不能当作除数。

复数除法如何计算:

\( Z_2 \)
\( Z_2^{-1} = \frac{Z_2^*}{|Z_2|^2} \)
\( \frac{Z_1}{Z_2} = Z_2^{-1}Z_1 = Z_1 Z_2^{-1} = \frac{Z_1 Z_2^*}{|Z_2|^2} \)
根据欧拉恒等式，
\( Z_1 = \rho_1 e^{i\theta_1} \)
\( Z_2 = \rho_2 e^{i\theta_2} \)
\(Z_2^* = \rho_2(\cos{\theta_2} - i\sin{\theta_2}) = \rho_2(\cos{(-\theta_2)} + i\sin{(-\theta_2)}) = \rho_2 e^{-i\theta_2} \)
\(Z_1 Z_2^* = \rho_1 \rho_2 e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \)
\(|Z_2|^2 = \rho_2^2 \)
到此可以统一复数的乘法和除法表述，复数乘除法是复数的模长的乘除法以及复数幅角的加减法。

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